Question

已知函数f(x)=

(x2-2ax)ex，x＞0 1 b x，x≤0

，当x=1时，y=f（x）取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，
（2）x＞0时，f（x）=（x²-

3

2

x）e^x，求导数得到：f′（x）=

1

2

e^x（x-1）（2x+3），则f（1）=-

e

2

，从而得出：①若b＞0，当m=0或m=-

e

2

时，或者②若b＜0，当m＞-

e

2

时，y=f（x）-m有两个零点．求解即可．

解答：解：（1）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x．f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x-2a]
由条件得：f′（1）=0，∴a=

3

4

；
（2）x＞0时，f（x）=（x²-

3

2

x）e^x，∴f′（x）=

1

2

e^x（x-1）（2x+3）
则f（1）=-

e

2

，
①若b＞0，当m=0或m=-

e

2

时，y=f（x）-m有两个零点；
②若b＜0，当m＞-

e

2

时，y=f（x）-m有两个零点．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用．