Question

1．已知x，y为正实数，若关于x，y的不等式$\frac{3x}{2x+y}$+$\frac{3y}{x+2y}$≤m²+m恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-2]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 设2x+y=m，2y+x=n 且m，n均为正数则3x=2m-n，3y=2n-m，$\frac{3x}{2x+y}$+$\frac{3y}{x+2y}$转化为$\frac{2m-n}{m}$+$\frac{2n-m}{n}$=2+2-$\frac{n}{m}$-$\frac{m}{n}$，利用基本不等式即可求出最大值，由题意得到m²+m≥2，解得即可．

解答 解：设2x+y=m，2y+x=n 且m，n均为正数
则3x=2m-n，3y=2n-m，
所以$\frac{3x}{2x+y}$+$\frac{3y}{x+2y}$=$\frac{2m-n}{m}$+$\frac{2n-m}{n}$=2+2-$\frac{n}{m}$-$\frac{m}{n}$≤4-2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=2，当且仅当m=n时取等号，
∵关于x，y的不等式$\frac{3x}{2x+y}$+$\frac{3y}{x+2y}$≤m²+m恒成立，
∴m²+m≥2，
解得m≤-2，或m≥1，
故实数m的取值范围是（-∞，-2]∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，-2]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了恒成立的问题，关键是利用基本不等式求出$\frac{3x}{2x+y}$+$\frac{3y}{x+2y}$的最大值，属于中档题．