Question

3．已知函数f（x）=2${\;}^{1+{x^2}}}$-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，则使得f（2x）＞f（x-3）成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （1，+∞）
• C． （-3，-1）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 判断函数f（x）为偶函数，讨论x＞0时，f（x）为增函数，再由偶函数的性质：f（|x|）=f（x），以及单调性，可得|2x|＞|x-3|，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：函数f（x）=2${\;}^{1+{x^2}}}$-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
有f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，
当x＞0时，可得y=2${\;}^{1+{x}^{2}}$递增，y=-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$递增．
则f（x）在（0，+∞）递增，
且有f（|x|）=f（x），
则f（2x）＞f（x-3）即为f（|2x|）＞f（|x-3|），
即|2x|＞|x-3|，
则|2x|²＞|x-3|²，
即为（x+3）（3x-3）＞0，
解得x＞1或x＜-3．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用复合函数的单调性和偶函数的性质，考查运算能力，属于中档题．