Question

椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|＝，|PF₂|＝．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l过圆x²＋y²＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝6，a＝3．

　　在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|＝，故椭圆的半焦距c＝，从而b²＝a²－c²＝4，所以椭圆C的方程为＝1．

　　(2)设A、B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

　　已知圆的方程为(x＋2)²＋(y－1)²＝5，所以圆心M的坐标为(－2，1)，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，代入椭圆C的方程得(4＋9k²)x²＋(36k²＋18k)x＋36k²＋36k－27＝0．

　　因为A、B关于点M对称，所以＝－2，

　　解得k＝．

　　所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0．

　　(经检验，所求直线方程符合题意)

　　解法二：(1)同解法一．

　　(2)已知圆的方程为(x＋2)²＋(y－1)²＝5，所以圆心M的坐标为(－2，1)．

　　设A、B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)．

　　由题意x₁≠x₂且　　①

　　　　②

　　由①－②得　　③

　　因为A、B关于点M对称，

　　所以x₁＋x₂＝－4，y₁＋y₂＝2．

　　代入③得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0．

　　(经检验，所求直线方程符合题意)