Question

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P-DEF的体积；
（3）求点E到平面PDF的距离．

Answer 1

（1）证明：依题意知图1折前AD⊥AE，CD⊥CF，-------------------------------（1分）
∴PD⊥PE，PF⊥PD，-------------------------------------------------------（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF-----------------------------------（4分）
又∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF----------------------------------------（5分）
（2）解法1：依题意知图1中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，，-----（6分）
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，
∴------（8分）
∴=．-----（10分）
解法2：依题意知图2中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，------------------（6分）
取EF的中点M，连接PM
则PM⊥EF，∴---------（7分）
∴---------------（8分）
∴=．------------------------------（10分）
（3）由（2）知PE⊥PF，又PE⊥PD，∴PE⊥平面PDF---------------------（12分）
∴线段PE的长就是点E到平面PDF的距离--------------------------------------（13分）
∵，∴点E到平面PDF的距离为．-------------------------------------（14分）
分析：（1）证明PD⊥EF，只需证明PD⊥平面PEF即可；
（2）解法1：依题意知图1中AE=CF=，从而PE=PF=，证明PE⊥PF，利用可求；
解法2：依题意知图2中AE=CF=，从而PE=PF=，取EF的中点M，连接PM，则PM⊥EF，利用可求；
（3）由（2）知PE⊥平面PDF，从而线段PE的长就是点E到平面PDF的距离．
点评：本题考查线线垂直，考查三棱锥的体积，考查点面距离的计算，解题的关键是利用线面垂直证明线线垂直，掌握转换底面求体积．