Question

【题目】已知f（x）=ex ， g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（ ）
A.（ln2，1）
B.（ ，ln2）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a＞0， ∴t=lns，s=ea ，
∴s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）=ea﹣ ，
则h′（a）=ea﹣ ，
∵y=ea递增，y= 递减，
故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，
0＜a＜a0时，ea＜ ，h′（a）＜0，
a＞a0时，ea＞ ，h′（a）＞0，
∴h（a）min=h（a0），
即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a0 ，
由零点存在定理验证 ﹣ =0的根的范围：
a0= 时， ﹣ ＜0，
a0=ln2时， ﹣ ＞0，
故a0∈（ ，ln2），
故选：B．
【考点精析】关于本题考查的指数函数的图像与性质，需要了解a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点;ax=a，即x=1时，y等于底数a;在0<a<1时:x<0时，ax>1,x>0时，0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时，ax>1才能得出正确答案．