Question

（本小题满分13分）
已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）存在定点Q,则Q的坐标只可能为。

解析试题分析：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即 故,
椭圆方程为.                    ……………（4分）
（Ⅱ）当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;
当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为（6分）
下证明为所求:
若直线斜率不存在,上述已经证明.设直线,
,
,       ……………………（8分）

……（10分）
 
,即以AB为直径的圆恒过点.      ………（13分）
注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解.
考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。（II）小题中，运用平面向量的数量积，“化证为算”，达到证明目的。