Question

16．求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜12．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，求出f（x）的导数，求出增区间，可得lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有ln$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，再由累加法，结合对数的运算性质，可得ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊），令n=2014，可得证．

解答 证明：由f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
即有f（x）＞f（1）=1，
则lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）
令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有ln$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，
则ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，
即有ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
即为ln（2•$\frac{3}{2}$•…•$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
则有ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊），
令n=2013，可得$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜ln2014＜11，
则有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜12．

点评 本题考查不等式的证明方法：构造法，考查导数的运用：求单调性，运用累加法和对数的运算性质是解题的关键．