Question

4．已知tanα=$\frac{1}{7}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，α，β都是锐角，求α+2β

Answer 1

分析 根据tanα和tanβ的值都小于1且α，β均为锐角，得到α和β度数都为大于0小于 $\frac{π}{4}$，进而求出α+2β的范围，然后利用二倍角的正切函数公式由tanβ的值求出tan2β的值，利用两角和的正切函数公式表示出tan（α+2β），将各自的值代入即可求出值，根据求出的α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．

解答 解：∵tanα=$\frac{1}{7}$＜1，tanβ=$\frac{1}{3}$＜1，
且α、β均为锐角，
∴0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$．
∴0＜α+2β＜$\frac{3π}{4}$．
又tan2β=$\frac{2tanβ}{1-{tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}×\frac{3}{4}}$=1
∴α+2β=$\frac{π}{4}$．

点评 此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．求出α+2β的范围是本题的关键．