Question

12．向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx-sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，a-$\sqrt{3}$），x，a∈R，a为常数．
（1）求y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为-2，求a的值；
（3）用五点作图法作出（2）结论中函数在一个周期内的图象．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式即可求y=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，根据f（x）的最小值为-2，建立方程关系即可求a的值；
（3）利用五点作图法，即可作出（2）结论中函数在一个周期内的图象．

解答 解：（1）y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx-sinx）×2cosx+a-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx+a-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-sin2x+a-$\sqrt{3}$=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
即y=f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）+a；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=π时，函数取得最小值此时y=-2+a=-2，
解得a=0；
（3）由（2）知f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	2	0	-2	0

则函数对应的图象为：

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积公式进行化简是解决本题的关键．