Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m，m∈R．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）有零点，可得$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m=0有解，求出m=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范围即可；
（2）求导函数，确定f（x）的单调性，要使函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，先考察其对立面即在区间（1，2）恰有一个零点时m的取值范围，最后由此求补集即可求得所求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）有零点，
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m=0有解，
∴m=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈（0，1）；
（2）f'（x）=-$\frac{{2}^{x}ln2}{（1+{2}^{x}）^{2}}$＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（-m+$\frac{1}{3}$）（-m+$\frac{1}{5}$）＜0解之得$\frac{1}{5}$＜m＜$\frac{1}{3}$，
故函数f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥$\frac{1}{3}$或m≤$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的解，属于中档题．