Question

10．满足条件|g（x₁）-g（x₂）|≤4|x₁-x₂|的函数g（x）形成了一个集合M，其中x₁，x₂∈R，并且x₁²≤1，x₂²≤1，求函数y=f（x）=x²+3x-2（x∈R）与集合M的关系．

Answer 1

分析 根据已知中满足条件|g（x₁）-g（x₂）|≤4|x₁-x₂|的函数g（x）形成了一个集合M，其中x₁，x₂∈R，并且x₁²，x₂²≤1，判断函数y=f（x）=x²+3x-2（x∈R）是否满足集合M的性质，可得结论．

解答 解：令g（x）=x²+3x-2，x₁²≤1，x₂²≤1，
则-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，
则|g（x₁）-g（x₂）|=|（x₁²+3x₁）-（x₂²+3x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂+3）|=|x₁-x₂||x₁+x₂+3|，
由1≤x₁+x₂+3≤5，
故|x₁-x₂|≤|g（x₁）-g（x₂）|≤5|x₁-x₂|，
故不满足|g（x₁）-g（x₂）|≤4|x₁-x₂|，
故函数y=f（x）=x²+3x-2（x∈R）∉集合M

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，元素与集合的关系，难度中档．