Question

17．函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），k≤0，讨论函数的单调性．

Answer 1

分析 可先求出导函数，通过判断导函数在某一区间的正负来判断原函数的单调性．判断前要对导函数的形式进行分析，简化讨论过程．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x（x-2）{e}^{x}}{{x}^{4}}$-k（$\frac{-2}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$）
=$\frac{（x-2）（{e}^{x}-kx）}{{x}^{3}}$（x＞0）
当k≤0时，kx≤0，
∴e^x-kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．