Question

2．已知函数y=f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于（1，0）中心对称；
②若f（x）为奇函数，且f（x）关于直线x=1对称，则4为函数f（x）一个周期．
③y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称；
④若f（1-3x）=f（1+3x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
其中正确命题是①②④． （写出命题编号）

Answer 1

分析 ①由f（2+x）=-f（x）得f（x）=-f（2-x）  令x=x+2，带入原式，有f（x）=-f（x-2），又f（x）为偶函数，有f（x-2）=f（2-x）得到对称中心点．
②由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=-f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．
③此两函数都是抽象函数，可以分别看作函数y=f（x）与y=f（-x）的图象向右移了一个单位而得到，由此问题变化为研究f（x）与y=f（-x）的图象的对称性，再由平移规律得出函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象的对称轴即可④若y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
④令t=1+3x，可得3x=t-1，代入f（1+3x）=f（1-3x）得f（t ）=f（2-t），继而得到命题成立．

解答 解：①由f（2+x）=-f（x）得f（x）=-f（2-x）  令x=x+2，带入原式，有f（x）=-f（x-2）
因为f（x）为偶函数，有f（x-2）=f（2-x）
所以f（x）=-f（2-x），关于（1，0）中心对称．①正确．
②由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．②正确．
③：∵f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称
又函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象可以由f（x）与y=f（-x）的图象向右移了一个单位而得到，
∴函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，③错误．
④令t=1+3x，可得3x=t-1，代入f（1+3x）=f（1-3x）得f（t ）=f（2-t）
由于$\frac{t+2-t}{2}=1$，即关于t=1对称，所以y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故④是命真题．
故答案为：①②④．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，及对称中心点和对称轴的求解方法，本题是一个中档题目．