Question

5．已知函数f（x）=e^x•cosx，g（x）=x•sinx，其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式f（x）≥g（x）•a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）试探究x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，方程f（x）-g（x）=0解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数y=f（x）的导函数，得到函数在点（0，f（0））处的导数值，再求得f（0），然后利用直线方程的点斜式得切线方程；
（2）利用导数求出函数在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最小值，函数g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值，把不等式f（x）≥g（x）a恒成立转化为两个函数最值间的关系求得实数a的取值范围；
（3）由（2）中的单调性即可说明方程f（x）-g（x）=0在[-$\frac{π}{2}$，0]上有一解，再利用导数判断两函数在
（0，$\frac{π}{2}$]上的单调性，结合单调性与极值说明在（0，$\frac{π}{2}$]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．

解答 解：（1）由f（x）=e^x•cosx，得f′（x）=e^xcosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx）．
∴f′（0）=e⁰（cos0-sin0）=1，又f（0）=e⁰cos0=1，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1；
（2）∵f′（x）=e^x•cosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx），
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时f′（x）＞0，f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上为增函数，
则f（x）_min=f（-$\frac{π}{2}$）=${e}^{-\frac{π}{2}}$cos（-$\frac{π}{2}$）=0，
g′（x）=sinx+xcosx，
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，g′（x）≤0，g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上为减函数，
则g（x）_max=g（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$．
要使不等式f（x）≥g（x）a恒成立，则a≤0．
故实数m的取值范围是（-∞，-0]；
（3）由（2）知，当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f（x）为增函数，g（x）为减函数，
且f（-$\frac{π}{2}$）＜g（-$\frac{π}{2}$），f（0）＞g（0），
∴在[-$\frac{π}{2}$，0]上方程f（x）-g（x）=0有一解；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，g′（x）=sinx+xcosx＞0，
函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
当x∈（0，$\frac{π}{4}$）时，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＞0，
当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）=e^x（cosx-sinx）＜0，
∴在（0，$\frac{π}{2}$]上f（x）有极大值，
而f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{\frac{π}{4}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{π}{4}$=g（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{2}$）=0，g（$\frac{π}{2}$）=1．
∴在（0，$\frac{π}{2}$]上方程f（x）-g（x）=0也只有一解．
∴x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，方程f（x）-g（x）=0解的个数是2个．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判断方法，分类讨论是解答该提的关键，是压轴题．