Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值；
（2）（文）设f（x）的反函数为f^-1（x），若关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范围．
（3）（理）设f（x）的反函数为f^-1（x），若f-1(1)=

1

3

，解关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，用对数的运算法则将函数化为f(x)=log a

1+x

1-x

，然后将真数对应的函数用求导数的方法讨论其单调性，得出真数是关于x的增函数．最后分a＞1和0＜a＜1两种情况对原不等式的解集加以讨论，从而可以得出实数a的值；
（2）用解方程的方法，将x用y来表示，从而得出函数f^-1（x）的表达式，再讨论得其值域为（-1，1），欲使关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必须大于f^-1（x）的最小值，从而得到m≥-1；
（3）先解方程f-1(1)=

1

3

，得到a=2，从而得到函数f^-1（x）的表达式，再结合（2）的函数值域的结果，可以分：①当m≥1时，②当-1＜m＜1，③当m≤-1时，三种情况下讨论不等式f^-1（x）＜m的解集情况，最后综合可得答案．

解答：解：（1）根据对数的运算法则，得
f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=log a

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
令t=

1+x

1-x

，得t/=

1-x+1+x

(1-x) 2

=

2

(1-x) 2

＞0
故t在区间（-1，1）上是关于x的单调增函数，
不等式|f（x）|＜2的解集为(-

1

2

，

1

2

)，分两种情况加以讨论：
①当a＞1时，f(-

1

2

) =-2且f(

1

2

) =2
∴log_a

1

2

-log_a

3

2

=-2⇒loga

1

3

=-2⇒a=

3

②当0＜a＜1时，f(-

1

2

) =2且f(

1

2

) =-2，类似①的方法可得a=

3

3

综上所述，得实数a的值为

3

或

3

3

；
（2）∵f(x)=log a

1+x

1-x

⇒x=

-1+ay

1+ay

∴f^-1（x）=

-1+ax

1+ax

=1-

2

1+ax

∵1+a^x＞1
∴1-

2

1+ax

∈(-1，1)
欲使关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必须大于f^-1（x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范围是[-1，+∞）．
（3）由（2）得f-1(1)=

-1+a

1+a

=

1

3

⇒a=2，
对于关于x的不等式f^-1（x）＜m，由（2）知的f^-1（x）的值域为（-1，1）
故分3种情形加以讨论：
①当m≥1时，有f^-1（x）＜1≤m，所以f^-1（x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②当-1＜m＜1，f^-1（x）＜m⇒1-

2

1+2x

＜m⇒2x＜

1+m

1-m

⇒x＜log2

1+m

1-m

∴不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）
由（2）知不等式f^-1（x）＜m的解集是空集．
综上所述：当m≤-1时原不等式的解集是空集，当-1＜m＜1时原不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）；当m≥1时，原不等式的解集是R．

点评：本题以对数型复合函数为例，考查了函数的单调性与值域、反函数和不等式的解法等等知识点，属于难题．本题的综合性较强，在解题时注意分类讨论与转化化归思路的适时恰当的运用．