Question

【题目】如图，在棱台中， 与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形， ， ， 为中点， （， ）.

（1）设中点为， ，求证： 平面；

（2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为， 时为的中点，设中点为，连梯形中，中位线，根据线面平行的判定定理可得平面；同理可证平面，然后再根据面面平行的判定定理可得，平面平面，进而可证命题成立；（2）设中点为，连，在中作且交于点，由面面垂直的性质定理，可得，又，所以平面，所以为到平面的距离，

且为直线与平面所成角；再根据面面垂直的性质定理，可得可得， 中为的中点 ，由此即可求出线面角的正弦值.

试题解析：

（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为

时为的中点，

设中点为，连

梯形中，中位线，又平面， 平面

所以平面；

中，中位线，又平面， 平面

所以平面

又且平面， 平面

所以平面平面

所以平面

（2）设中点为，连，在中作且交于点，

又，所以平面，

所以为到平面的距离，

且为直线与平面所成角

平面，所以， 中

为的中点

直线与平面所成角的正弦值为.