Question

（2012•江门一模）已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程，并证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．

Answer 1

分析：（1）已知f（x）=lnx-ax+1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；
（2）令y=0，进行变形lnx=ax-1，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y=f（x）的零点；

解答：解：（1）f（1）=-a+1，
k₁=f′（1）=1-a，所以切线l的方程为
y-f（1）=k₁×（x-1），即y=（1-a）x
作F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，则

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F′（x）=

1

x

-1=

1

x

（1-x），解F′（x）=0得x=1．
所以任意x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．
（2）令y=0，即lnx=ax-1，画图可知
当a≤0时，直线y=ax-1与y=lnx的图象有且只有一个交点，即一个零点；
当a＞0时，设直线y=ax-1与y=lnx切于点（x₀，lnx₀），切线斜率为k=

1

x0

∴切线方程为y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），把（0，-1）代入上式可得x₀=1，k=1
∴当0＜a＜1时，直线y=ax-1与y=lnx有两个交点，即两个零点；
当a=1时直线y=ax-1与y=lnx相切于一点，即一个零点；
当a＞1时直线y=ax-1与y=lnx没有交点，即无零点．
综上可知，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了数形结合的思想，是一道中档题；