Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，点P（x，y）是双曲线右支上的一个动点，且|PF₁|的最小值为8，

PF1

与

PF2

的数量积

PF1

•

PF2

的最小值是-16．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点C（9，16）能否作直线l与双曲线交于A、B两点，使C为线段AB的中点．若能，求出直线l的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1））由|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，得a+c=8①，消掉y可得

PF1

•

PF2

的最小值，令其为-16②，结合a²+b²=c²可得a，b；
（2）平方差法：假设存在这样的直线满足题条件，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入双曲线方程并作差，可得直线AB的斜率k，从而可得直线l的方程，然后联立直线与双曲线的方程消掉y可得△＞0，从而得到结论；

解答：解：（1）∵|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，当且仅当x=a时，等号取得，
∴|PA|的最小值为c+a，∴c+a=8①，
∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)，
由

x2

a2

-

y2

b2

=1知y2=b2(

x2

a2

-1)，
∴

PF1

•

PF 2

=x2-c2+y2=x2-c2+b2(

x2

a2

-1)=(1+

b2

a2

)x2-c2-b2≥(1+

b2

a2

)a2-c2-b2=-b2，
∴当且仅当x=a时，等号取得，
∴

PF1

•

PF 2

的最小值为-b²，∴b²=16，即b=4②，
又∵c²=a²+b²③
∴由①②③得a=3，b=4，c=5
∴所求双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）假设存在这样的直线满足题条件，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有16x12-9y12=144④，16x22-9y22=144⑤，
④-⑤得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）-9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
则k=

y1-y2

x1-x2

=

16(x1+x2)

9(y1+y2)

=

16×9

9×16

=1，
∴直线l的方程为y-x=7，
将直线l：y-x=7与双曲线16x²-9y²=144组成方程组消去y，得7x²-126x-585=0，其根的判别式△＞0，
∴这样的直线l存在，方程为x-y+7=0；

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的方程和性质，涉及弦中点问题往往运用平方差法．