Question

（自选模块）
（Ⅰ）求函数f（x）=

3

2sin2x+1

+

8

3cos2x+2

，（x∈R）的最小值．
（Ⅱ）已知m，n∈R，a，b∈R⁺，n²m²＞a²m²+b²n²，证明：

m2+n2

＞a+b．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,选作题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）f（x）=

3

2sin2x+1

+

8

3cos2x+2

=

9

6sin2x+3

+

16

6cos2x+4

，利用柯西不等式求最值；
（Ⅱ）n²m²＞a²m²+b²n²，变形为1＞

a2

n2

+

b2

m2

，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=

3

2sin2x+1

+

8

3cos2x+2

=

9

6sin2x+3

+

16

6cos2x+4

=

1

13

[（6sin²x+3）+（6cos²x+4）]（

9

6sin2x+3

+

16

6cos2x+4

）≥

1

13

•(3+4)2=

49

13

，
当且仅当tanx=±

3

2

时取等号，函数取得最小值为

49

13

；
（Ⅱ）证明：∵m，n∈R，a，b∈R⁺，n²m²＞a²m²+b²n²，
∴1＞

a2

n2

+

b2

m2

，
∴m²+n²＞（

a2

n2

+

b2

m2

）（m²+n²）＞（a+b）²，
∴

m2+n2

＞a+b．

点评：本题考查柯西不等式求最值，考查基本不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．