Question

20．函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$的极小值是e．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，再求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，由此求出极值点，进一步求得函数的极值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
∴当x∈（0，1），（1，e）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）=$\frac{x}{lnx}$在（0，1），（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∴当x=e时，函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$的极小值是$\frac{e}{lne}=e$．
故答案为：e．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．