Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x².
(1)求证：f(x)是周期函数．
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)

Answer 1

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知
f(－x)＝2(－x)－(－x)²＝－2x－x²，
又f(x)为奇函数，∴－f(x)＝－2x－x².
∴f(x)＝x²＋2x.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]．
∴f(x－4)＝(x－4)²＋2(x－4)，
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)²＋2(x－4)＝x²－6x＋8，
∴x∈[2,4]时，f(x)＝x²－6x＋8.
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)
＝f(2010)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋…＋f(2011)＝0＋…＋0＝0.

略