Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，且

AF2

•

F1F2

=0，坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率．

Answer 1

（1）由题设知F₁（-

a2-2

，0），F₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

由于

AF2

•

F1F2

=0，则有

AF2

⊥

F1F2

，所以点A的坐标为（

a2-2

，±

2

a

）
故AF₁所在直线方程为y=±（

x

a a2-2

+

1

a

），所以坐标原点O到直线AF₁的距离为

a2-2

a2-1

，
又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=|=

1

3

a2-2

，解得：a=2．
∴所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），故M（0，k）．
设Q（x₁，y₁），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．
根据题意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

又Q在椭圆C上，故

4

4

+

k2

2

=1或

4 9

4

+

( k 3 )2

3

=1，
解得k=0，k=±4，综上，直线的斜率为0或±4