如图.设抛物线c1:y2=4mx的准线与x轴交于F1.焦点为F2.以F1.F2为焦点.离心率e=12的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P．(1)当m=1时.求椭圆的方程,的条件下.直线l经过椭圆c2的右焦点F2.与抛物线c1交于A1.A2.如果以线段A1A2为直径作圆.试判断点P与圆的位置关系.并说明理由,(3)是否存在实数m.使得△PF1F2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=

的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

∵c₁：y²=4mx的右焦点F₂（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e=

，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

m．
椭圆方程为

4m2

3m2

=1．
（1）当m=1时，故椭圆方程为

=1，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立

y2=4x

得点P的坐标为P(

，

)．
将x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
设A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韦达定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

，y1-

)，

PA2

=(x2-

，y2-

)．

PA1

•

PA2

=x1x2-

(x1+x2)+

+y1y2-

(y1+y2)+

24k2+24

k+11

24(k+

)2-25

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m，
由

y2=4mx

4m2

3m2

解得：P(

m，

m)．
∴|PF2|=

m+m=

m，|PF1|=4m-|PF2|=

m，又|F1F2|=2m=

m．
即△PF₁F₂的边长分别是

m、

m．
∴m=3时，能使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．（14分）

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

(文) 已知椭圆

的离心率为

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C₁的方程；（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若

是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．