Question

(文) 已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C₁的方程；（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

 （1）（2）

：（1）由                            （2分）
由直线
所以椭圆的方程是 （4分）
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是．（8分）
（3）由（1），得圆O的方程是
设得   （10分）
则
由 ①　（12分）
因为

所以 　 ②　（13分）由A、R、S三点不共线，知．　③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（14分）
（注：其它解法相应给分）．