Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，且满足f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1，
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥2．

Answer 1

分析：（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1，知f（2）=f（2）+f（1），由此能求出f（1）．
（2）由题设知f（-x）+f（3-x）=f（x²-3x）≥2=f（4）．由此能求出不等式f（-x）+f（3-x）≥2的解集．

解答：解：（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1），
∴f（1）=0．
（2）∵f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，
且满足f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（-x）+f（3-x）=f（x²-3x）≥2=f（4）．
∴

-x＞0 3-x＞0 x2-3x≤4

，解得-1≤x＜0．
∴不等式f（-x）+f（3-x）≥2的解集为[-1，0）．

点评：本题考查抽象函数的函数值的求法，考查抽象函数对应的不等式的解法．解题时要认真审题，注意抽象函数的单调性的灵活运用．