Question

是否存在实数a，b，使y=

ax2+8x+b

x2+1

的最大值为9，最小值为1？

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简y=

ax2+8x+b

x2+1

为（y-a）x²-8x+y-b=0，则△=64-4（y-a）（y-b）≥0，则1和9是y²-（a+b）y+ab-16=0的两个根，从而解出a，b．

解答： 解：∵y=

ax2+8x+b

x2+1

，
∴y（x²+1）=ax²+8x+b，
∴（y-a）x²-8x+y-b=0，
那么△=64-4（y-a）（y-b）≥0，
即y²-（a+b）y+ab-16≤0，
依题意知1和9是y²-（a+b）y+ab-16=0的两个根，
那么a+b=1+9=10，ab-16=1×9=9，
即：a+b=10，ab=25，
即：a=b=5．

点评：本题考查了函数的最值的求法，化为二次函数，用韦达定理简化运算，属于中档题．