Question

已知函数f(x)=

(x2-2ax)ex，x＞0 2x，???x≤0

，x=1是函数y=f（x）的极值点．
（1）求实数a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函数y=f（x）的极值点，则f'（1）=0，我们根据已知分段函数的解析式，求出其导函数，代入即可求出a值．
（2）根据（1）的结论，我们易求出函数及其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性，画出函数图象的草图，结合草图及f（x）-m=0的根的个数即为函数y=f（x）图象与y=m交点个数，不难求出实数m的范围．

解答：解：（1）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f'（1）=0，∴[1+2（1-a）-2a]e=0，
∴1+2-2a-2a=0，∴a=

3

4

．
（2）由（1）x＞0时，f(x)=(x2-

3

2

x)ex，
∴f′(x)=(2x-

3

2

)ex+(x2-

3

2

x)ex=

1

2

(x-1)(2x+3)ex．
令f′(x)=0得x=1(x=-

3

2

舍去)，当x＞0时：

所以，要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，m=0或m=-

1

2

e．

点评：要求已知函数极值点，但解析式中含有参数的函数问题，我们可以利用极值点的导数值为0，构造方程进行解答．对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义  （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．