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(选做题)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
【答案】分析:(Ⅰ)将函数写成分段函数,再利用f(x)<4,即可求得M;
(Ⅱ)利用作差法,证明4(a+b)2-(4+ab)2<0,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x-1|=
当x<-1时,由-2x<4,得-2<x<-1;
当-1≤x≤1时,f(x)=2<4;
当x>1时,由2x<4,得1<x<2.
所以M=(-2,2).…(5分)
(Ⅱ)证明:当a,b∈M,即-2<a,b<2,
∵4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0,
∴4(a+b)2<(4+ab)2
∴2|a+b|<|4+ab|.…(10分)
点评:本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利用作差法证明不等式.
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