Question

（2012•开封二模）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；
（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）²-（4+ab）²＜0，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x-1|=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

当x＜-1时，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；
当-1≤x≤1时，f（x）=2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（-2，2）．…（5分）
（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即-2＜a，b＜2，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=（a²-4）（4-b²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）

点评：本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．