Question

（2012•开封二模）下列命题中的真命题是（　　）

• A．?x∈R，使得sinx+cosx=

  3

  2

• B．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• C．?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
• D．?x∈（0，+π），sinx＞cosx

Answer 1

分析：根据函数y=sinx+cosx的最大值为

2

，可得A项为假命题；利用导数讨论函数的单调性，可得B项的不等式恒成立，故为真命题；根据指数函数的单调性，结合a^x＞0的特性可证出2^x＞3^x对任意的x∈（-∞，0）都成立，故C是假命题；通过举出反例可以说明D项是假命题．

解答：解：对于A，因为sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，而

3

2

＞

2

，故不存在x使得sinx+cosx=

3

2

成立，
因此A是假命题；
对于B，令f（x）=e^x-x-1，得f'（x）=e^x-1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（0）=0，即e^x＞x+1，故B是真命题；
对于C，因为

2

3

∈（0，1），所以x∈（-∞，0）时，（

2

3

）^x＞（

2

3

）⁰=1，
即当x∈（-∞，0）时，

2x

3x

＞1，得2^x＞3^x对任意的x∈（-∞，0）都成立，故C是假命题；
对于D，当x=

π

4

时，sinx=cosx，故D也是假命题．
综上所述，可得只有B是真命题．
故选B

点评：本题以含有题词的命题真假的判断为载体，考查了三角函数的值域与最值、指数函数的单调性和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．