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(2012•开封二模)如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.
(1)证明:∠PBC=90°;
(2)若PB=3,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
分析:(1)取AD中点O,连OP、OB,证明AD⊥平面POB,利用BC∥AD,可得BC⊥平面POB,从而可得结论;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面PBC的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
解答:(1)证明:取AD中点O,连OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,
又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,
∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,
∵PB?平面POB,∴BC⊥PB,即∠PBC=90°.
(2)解:如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,
3
,0),C(-1,
3
,0),
由PO=BO=
3
,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POz=30°,∴P(0,-
3
2
3
2
),
AB
=(-1,
3
,0),
BC
=(-1,0,0),
PB
=(0,
3
3
2
,-
3
2
),
设平面PBC的法向量为
n
=(x,y,z),则
-x=0
3
3
2
y-
3
2
z=0
,取z=
3
,则
n
=(0,1,
3
),
设直线AB与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<
AB
n
>|=
3
4
点评:本题考查直线与平面垂直,考查线面角,考查空间想象能力,逻辑推理能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•开封二模)(选做题)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

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