Question

已知过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F的直线m交抛物线于点M、N，|MF|=2，|NF|=3，则抛物线C的方程为（　　）

• A、x²=8y
• B、x²=2y
• C、x²=4y
• D、x²=2

  2

  y

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线m的方程为y=kx+

p

2

，联立

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pky-p²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用抛物线过焦点弦的弦长公式和抛物线弦长公式能求出p=2，k=±

1

2

，由此能求出抛物线C的方程．

解答： 解：设直线m的方程为y=kx+

p

2

，
联立

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pky-p²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk²+p，
∵|MF|=2，|NF|=3，
∴

y1+y2+p=2pk2+2p=5 |MN|= (1+k2)(4p2k2+4p2) =5

，
解得p=2，k=±

1

2

，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
故选：C．

点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．