Question

（本小题满分12分）已知平面上一定点和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为,且

（1）问点在什么曲线上?并求出该曲线的方程;

（2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点,是否存在实数,使得以线段为直径的圆经过点?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

 

Answer 1

（1）点在双曲线上,其方程为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件代入点的坐标，化简整理得方程为则点在双曲线上.

（2）联立直线与双曲线的方程消去得到关于的方程，直线与双曲线交于不同的两点，由，得的范围，又因为以线段为直径的圆经过点，所以，利用或者得的等式，代入根与系数关系得到关于的方程，求出，检验满足，所以存在实数.

试题解析：（1）设的坐标为,由得

∴

化简得 ∴点在双曲线上,其方程为

（2）设点的坐标分别为、,由 得

∵与双曲线交于两点, ∴,即解得

，

∵若为直径的圆过,则,∴,即,

∴

∴

解得,故存在值为.

考点：1双曲线的定义和方程；2.直线与双曲线的综合问题.