Question

已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y-14=0．
（1）求证：圆C₁与圆C₂相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用两圆圆心距与半径的和、差比较，即可得到结论；
（2）将两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程；
（3）设出过两圆交点的圆系方程，确定圆心坐标，利用圆心在直线x+y-6=0上，即可求得圆的方程．

解答：（1）证明：圆C2：x2+y2+2x+2y-14=0化为标准方程为（x+1）²+（y+1）²=16
∴C₂（-1，1），r=4
∵圆C1：x2+y2=10的圆心坐标为（0，0），半径为R=

10

∴|C₁C₂|=

2

∵4-

10

＜

2

＜4+

10

∴两圆相交；
（2）解：将两圆方程相减，可得2x+2y-4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0；
（3）解：设所求圆的方程为x²+y²+2x+2y-14+λ（x²+y²-10）=0（λ≠-1）
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+2x+2y-14-10λ=0
∴圆心坐标为（-

1

1+λ

，-

1

1+λ

）
代入直线x+y-6=0可得：-

1

1+λ

-

1

1+λ

-6=0，∴λ=-

4

3

∴所求圆的方程为x²+y²-6x-6y+2=0．

点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查圆系方程，考查学生的计算能力，属于中档题．