Question

（2011•江苏二模）已知各项均为正数的等差数列{a_n}的公差d不等于0，设a₁，a₃，a_k是公比为q的等比数列{b_n}的前三项，
（1）若k=7，a₁=2；
（i）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（ii）将数列{a_n}和{b_n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c_n}，设其前n项和为S_n，求S2n-n-1-22n-1+3•2n-1(n≥2，n∈N*)的值
（2）若存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，求证k为奇数．

Answer 1

分析：（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用错位相减法可求得a_nb_n的前n项和为T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因为新的数列{c_n }的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，所以计算得到S2n-n-1-22n-1+3•2n-1=-1．
（2）由题意由于（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），解方程得d=

a1(k-5)

4

，q=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=

k-3

2

，又因为存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，及在正项等差数列{a_n}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，分析数特点即可．

解答：解：（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q=

b2

b1

=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用错位相减法或其它方法可求得a_nb_n的前n项和为T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因为新的数列{c_n }的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，
所以S2n-n-1=

(2n-1)(2+2n)

2

-

2(2n-1)

2-1

=(2n-1)(2n-1-1)．
所以S2n-n-1-22n-1+3•2n-1=1
（2）由（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），
因为d≠0，所以d=

a1(k-5)

4

，所以q=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=

k-3

2

．
因为存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，
所以am=a 1q3=a1(

k-3

2

)3，
又在正项等差数列{a_n}中，am=a1+(m-1)d=a1+

a1(m-1)(k-5)

4

，
所以a1+

a1(m-1)(k-5)

4

=a1(

k-3

2

)3，又因为a₁＞0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，
因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）³也是偶数，
即k-3为偶数，所以k为奇数．

点评：此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．