Question

已知等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数连同与按原顺序组成一个公差为（）的等差数列．
①设，求数列的前和；
②在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

 （1）；（2）①②不存在.

试题分析：（1）要看清问题的实质就是，那么这就是我们熟悉的问题，利用，转化为和公比的式子，可解出，再由题目条件得出关于首项的关系式，求出等比数列的首项即可求出通项公式；（2）①由新数列的的首首项和末项及项数可求出公差，根据其表达式的结构特征，再考虑求，本题可用错位相减法；②此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在.
试题解析：（1）设数列的公比为，由已知可得，                1分
由已知，，所以，
两式相减得，，解得，                       3分
又，解得，                                    5分
故                                                      6分
（2）由（1），知   7分
①，        8分
，
    10分
故                                                 11分
②假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，
则，即．                         13分
因为成等差数列，所以，（*）代入上式得： ，（**）
由（*），（**），得，这与题设矛盾．                              15分
所以，在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．  16分