Question

【题目】已知函数f（x）= sinxcosx+sin2x﹣ ．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（ + ），其中常数ω＞0，|φ|＜ ． （i）当ω=4，φ= 时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[ ， ]上的最大值为 ，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣ ，且其图象过点A（ ，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= sinxcosx+sin2x﹣ ．

化简可得：f（x）= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ）

f（x）的最小正周期T= ，

由2x﹣ = ，（k∈Z），可得对称轴方程为：x= ，（k∈Z）．

（2）解：由函数g（x）=f（ + ）=sin（ωx+φ），

（i）当ω=4，φ= 时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+ ）﹣4λsin（2x﹣ ）

=cos（4x﹣ ）﹣4λsin（2x﹣ ）=1﹣2sin2（2x﹣ ）﹣4λsin（2x﹣ ）=﹣2[sin（2x﹣ ）+λ]2+1+2λ2．

∵x∈[ ， ]上，

则2x﹣ ∈[0， ]．

故sin（2x﹣ ）∈[0，1]．

当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2= ，解得：λ= ；

当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣ ）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣ ）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．

当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣ ）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ= ，解得：λ=﹣ ，不在其范围内，故舍去．

故得满足题意的λ的值为 ．

（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣ ，

且其图象过点A（ ，1），则有 = =3π，解得：T=4π，∴ω= = ．

点（ ，1）在图象上，可得： +φ=2kπ．∵|φ|＜ ．∴φ=﹣ 不符合题意．舍去．

当 = =3π，解得：T= ．∴ω= ．

点（ ，0）在图象上， +φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜ ．∴φ= ，

∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（ x﹣ ）

点（ ，1）在图象上，

验证：sin（ ）=sin =1符合题意．

故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（ x﹣ ）．

【解析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质对称轴方程（2）（i）求出g（x）的解析式，当ω=4，φ= 时，求函数y=g（x）﹣4λf（x），化简，结合三角函数的图象和性质在[ ， ]上的最大值为 ，讨论，可求λ的值．（ii）若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣ ，且其图象过点A（ ，1），则有 = =3π，求解T的最大值．可得ω；图象过点A（ ，1），带入g（x）化简，求解φ，从而可得函数g（x）的解析式．