Question

设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点．若OA丄OB，则△AOB面 积的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，点A（x₁，y₁）满足满足，可求得|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．
解答：解：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-x，
则点A（x₁，y₁）满足故=，=，
∴|OA|²=+=，同理|OB|²=，
故|OA|²•|OB|²=•=
∵=≤（当且仅当k=±1时，取等号）
∴|OA|²•|OB|²≥，又b＞a＞0，
故S_△AOB=|OA||OB|的最小值为．
点评：本题考查双曲线的简单性质与三角形的面积，考查基本不等式，考查转化与综合运算及抽象思维能力，属于难题．