Question

16．设△ABC是边长为4的正三角形，点P₁，P₂，P₃，四等分线段BC（如图所示）
（1）P为边BC上一动点，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的取值范围？
（2）Q为线段AP₁上一点，若$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）以BC所在直线为x轴，AP₂所在直线为y轴，P₂为坐标原点，建立直角坐标系，求得A，B，C，P₁，的坐标，求得向量PA，PC的坐标，运用数量积的坐标表示，再由二次函数在闭区间上的值域求法可得；
（2）设Q（x，y），由A，Q，P₁共线，运用斜率相等，求得y关于x的式子，再分别求得向量AQ，AB，AC的坐标，得到m，x的方程组，即可解得m的值．

解答 解：（1）以BC所在直线为x轴，AP₂所在直线为y轴，
P₂为坐标原点，建立直角坐标系，
则A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），C（2，0），P₁（-1，0），
设P（t，0）（-2≤t≤2），则$\overrightarrow{PA}$=（-t，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（2-t，0），
可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-t（2-t）+2$\sqrt{3}$•0=t²-2t=（t-1）²-1，（-2≤t≤2），
t=1时，取得最小值-1；t=-2时，取得最大值8．
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的取值范围为[-1，8]；
（2）设Q（x，y），由A，Q，P₁共线，
可得$\frac{y-2\sqrt{3}}{x}$=$\frac{2\sqrt{3}-0}{0+1}$，
即有y=2$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{AQ}$=（x，2$\sqrt{3}$x），$\overrightarrow{AB}$=（-2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2，-2$\sqrt{3}$），
若$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=-2m+\frac{1}{12}×2}\\{2\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}m+\frac{1}{12}×（-2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查平面向量数量积和平面向量基本定理的运用，注意运用坐标法是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．