Question

【题目】设为偶函数，且当时，；当时，．关于函数的零点，有下列三个命题：

①当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点；

②若，函数的零点不超过4个，则；

③对，，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．

其中，正确命题的序号是_______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.

解：当时又因为为偶函数

可画出的图象，如下所示：

可知当时有5个不同的零点；故①正确；

若，函数的零点不超过4个，

即，与的交点不超过4个，

时恒成立

又当时，

在上恒成立

在上恒成立

由于偶函数的图象，如下所示：

直线与图象的公共点不超过个，则，故②正确；

对，偶函数的图象，如下所示：

，使得直线与恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．

故答案为：①②③