Question

8．从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精$（a-b）（1-\frac{b}{a}）^{n-1}$升．

Answer 1

分析 通过分析每次剩下原来的1-$\frac{b}{a}$，即逐次剩下的酒精量就构成以a-b为首项、以1-$\frac{b}{a}$为公比的等比数列，进而计算可得结论．

解答 解：倒了1次后，剩余纯酒精：a-b升，
倒了2次后，剩余纯酒精（a-b）-（a-b）•$\frac{b}{a}$=（a-b）•（1-$\frac{b}{a}$），
倒了3次后，剩余纯酒精（a-b）•（1-$\frac{b}{a}$）-（a-b）•（1-$\frac{b}{a}$）•$\frac{b}{a}$=（a-b）•（1-$\frac{b}{a}$）²，
∴每次剩下原来的1-$\frac{b}{a}$，
∴逐次剩下的酒精量就构成以a-b为首项，以1-$\frac{b}{a}$为公比的等比数列{a_n}，
∴a_n=$（a-b）（1-\frac{b}{a}）^{n-1}$，
故答案为：$（a-b）（1-\frac{b}{a}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列的运用，解答的关键是从实际问题中提炼出数列的关系来，注意解题方法的积累，属于中档题．