Question

18．若a，b∈（0，+∞），且a，b的等差中项为$\frac{1}{2}$，α=a+$\frac{1}{b}$，β=b+$\frac{1}{a}$，则α+β的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 a+b=1，$\frac{1}{a}$=$\frac{a+b}{a}$=1+，$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{b}$=$\frac{a}{b}$+1，使用基本不等式可求最小值．

解答 解：因为a，b的等差中项是$\frac{1}{2}$，∴a+b=1，
所以，α+β=a+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{b}$=1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1+1+$\frac{b}{a}$+1+$\frac{a}{b}$≥5，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，等号成立．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的性质，基本不等式的应用，及1的代换．