Question

7．公比为q的无穷等比数列{a_n}满足：|q|＜1，a_n=k（a_n+1+a_n+2+…）（n∈N^*），则实数k的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 通过|q|＜1可知$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$、$\frac{1}{q}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞），一方面a_n=a₁•q^n-1、另一方面a_n=k（$\underset{lim}{n→∞}$S_n-S_n）=k•a₁•$\frac{{q}^{n}}{1-q}$，综合起来可知k=$\frac{1}{q}$-1，进而可得结论．

解答 解：依题意，数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵|q|＜1，∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，
∴a_n=k（$\underset{lim}{n→∞}$S_n-S_n）=k•a₁•$\frac{{q}^{n}}{1-q}$，
又∵a_n=a₁•q^n-1，
∴k•a₁•$\frac{{q}^{n}}{1-q}$=a₁•q^n-1，
∴k=$\frac{1-q}{q}$=$\frac{1}{q}$-1，
∵|q|＜1，即-1＜q＜1且q≠0，
∴$\frac{1}{q}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴k∈（-∞，-2）∪（0，+∞），
故答案为：（-∞，-2）∪（0，+∞）．

点评 本题考查等比数列的简单性质，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．