Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{a•{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}（{a∈R}）$为奇函数，
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）解关于x的不等式：f^-1（x）＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，得到f（-x）=-f（x），解方程即可求a的值；
（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
即$\frac{a•{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{a•{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=0，
则$\frac{a+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{a•{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=0，
即-a-2^x+a•2^x+1=0，
则（1-a）（1-2^x）=0，
∵x≠0，
∴1-a=0．即a=1．
此时f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（2）由y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$得（2^x-1）y=2^x+1．
即y•2^x-y=1+2^x，
即（y-1）•2^x=1+y，
当y=1时，方程等价为0=1，不成立，
∴y≠1，
则2^x=$\frac{1+y}{y-1}$，由2^x=$\frac{1+y}{y-1}$＞0得y＞1或y＜-1，
即函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
由2^x=$\frac{1+y}{y-1}$，得x=log₂$\frac{1+y}{y-1}$，
即f（x）的反函数f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{x-1}$，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（3）∵f^-1（x）＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．
∴log₂$\frac{1+x}{x-1}$＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．
①若k＞0，则x+1＞0，即x＞-1，
∵x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴此时x＞1，
此时不等式等价为$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{x+1}{k}$，即$\frac{1}{x-1}$$＞\frac{1}{k}$，
则0＜x-1＜k，即1＜x＜k+1，
②若k＜0，则x+1＜0，即x＜-1，
∵x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴此时x＜-1，
此时不等式等价为$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{x+1}{k}$，即$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{k}$，
则x-1＞k，即-1＞x＞k+1，
此时k+1＜-1，即k＜-2，
即当k＜-2时，不等式的解集为（1+k，-1）．
-2≤k＜0时，不等式的解集为空集．
综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），
若当k＜-2时，不等式的解集为（1+k，-1）．
-2≤k＜0时，不等式的解集为空集．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．