Question

5．已知函数f（x）=e^x-mx+1，g（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1），函数f（x）在x=0处的切线与x轴平行
（1）求实数m的值
（2）讨论g（x）的单调性
（3）当a＞1时，?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得1-m=0，可得m=1；
（2）求得g（x）的导数，令h（x）=g′（x），再求h（x）的导数，判断h（x）的单调性，即可得到g（x）的单调区间；
（3）分别求出f（x），g（x）在[-1，1]的最大值，注意运用单调性判断，再由条件可得f（x）_max≥g（x）_max，令m（a）=a+1-lna，求得导数，判断在a＞1的单调性，由m（e）=e，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-mx+1的导数为f′（x）=e^x-m，
函数f（x）在x=0处的切线斜率为1-m=0，解得m=1；
（2）g（x）=a^x+x²-xlna的导数为g′（x）=a^xlna+2x-lna，
令h（x）=g′（x）=a^xlna+2x-lna，则h′（x）=a^xln²a+2＞0，
∴h（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
又∵h（0）=0，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即g′（x）＞0，
当x＜0时，h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0．
∴函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（3）函数f（x）=e^x-x+1的导数为f′（x）=e^x-1，
当-1≤x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当0≤x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有f（0）取得最小值2，
由f（-1）=2+e^-1，f（1）=e，则f（x）在[-1，1]的最大值为e；
g（x）在[-1，0）递减，g（-1）取最大，且为a^-1+1+lna，
在（0，1]递增，g（1）取最大，且为a+1-lna，
由g（1）-g（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1），
由a-$\frac{1}{a}$-2lna的导数1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（$\frac{1}{a}$-1）²＞0，
即有a-$\frac{1}{a}$-2lna在a＞1递增，即有a-$\frac{1}{a}$-2lna＞0，
则g（1）取得最大．
当a＞1时，?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
即有f（x）_max≥g（x）_max，
即为e≥a+1-lna，
由a＞1，m（a）=a+1-lna的导数为1-$\frac{1}{a}$＞0，
则m（a）=a+1-lna在a＞1递增，
e≥a+1-lna即为m（e）≥m（a），
故有1＜a≤e．
则a的范围是（1，e]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立和存在性问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．