Question

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=8，$\overrightarrow m$=（cosA，sinB），$\overrightarrow n$=（cosB，-sinA），又$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$-\frac{1}{2}$．
（1）求角C的值；
（2）求c及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换可得$cos（A+B）=-\frac{1}{2}$，结合A+B的范围即可得解．
（2）利用余弦定理可求c，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-\frac{1}{2}$得$cosAcosB-sinAsinB=-\frac{1}{2}$，即$cos（A+B）=-\frac{1}{2}$，
∵$0＜A+B＜π∴A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$C=\frac{π}{3}$---------（5分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b-2abcosC=49，
∴$c=7，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=6\sqrt{3}$--（10分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题．