Question

已知f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ(n∈N^*),满足f(1)=n²,a₁,a₂,a₃,…,a_n构成数列{a_n}.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)证明f()<1.

Answer 1

(1)解:因为f(1)=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²,所以{a_n}的前n项和S_n=n².

由a_n=S_n-S_n-1=n²-(n-1)²=2n-1(n≥2),

又a₁=S₁=1满足a_n=2n-1,

所以a_n=2n-1(n∈N^*).

(2)证明:因为f()=1×+3×+5×+…+(2n-1)×,                 ①

×f()=1×+3×+…+(2n-3)×+(2n-1)×,              ②

①-②得f()=1×+2×+2×+…+2×-(2n-1)×.

所以f()=+-(2n-1)=1-()=1-.

所以f()<1.