Question

设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由．
（II）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
（III） 将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后与抛物线y=ax²（a为非0常数）的图象有几个交点？（说明理由）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可得f（2）=3，f′（2）=0，联立方程即可求得a，b值，得f（x）解析式，然后构造奇函数g（x），根据f（x）与g（x）的关系可得f（x）的对称性；
（II）在曲线上任取一点．  利用导数可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，分别联立切线方程与x=1，y=x的方程可得三角形定点，利用三角形面积公式即可求得定值；
（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为，它与抛物线y=ax²的交点个数等于方程=ax²的解的个数．分离出参数a后构造函数，利用导数可判断函数的单调性并求得其值域，由此可得结论；
解答：解：（Ⅰ），
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
于是，解得或，
因a，b∈Z，故．令，满足，
所以g（x）是奇函数，其图象是以原点（0，0）为中心的中心对称图形．                         
而函数g（x）的图象按向量=（1，1）平移，即得到函数的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．                          
（（II）证明：在曲线上任取一点．  
 由知，过此点的切线方程为．                 
令x=1得，切线与直线x=1交点为．                   
令y=x得y=2x-1，切线与直线y=x交点为（2x-1，2x-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．                                     
从而所围三角形的面积为S=．
所以，所围三角形的面积为定值2．                                        
（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为，
它与抛物线y=ax²的交点个数等于方程=ax²的解的个数．
方程=ax²等价于，即a=t³+t²+t（t≠0），
记G（t）=t³+t²+t（t≠0），G′（t）=3t²+2t+1，△=2²-4×3×1＜0，
∴G′（t）＞0，G（t）=t³+t²+t在R上为单调递增函数，
且G（t）=t（t²+t+1），t→∞时t²+t+1→+∞，G（t）的值域为R，
所以y=a（a≠0）与y=G（t）（t≠0）有且只有一个交点，即将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后，
与抛物线y=ax²有且只有一个交点．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、利用导数研究曲线的切线方程，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．