Question

已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．

（1）求a的值；

    （2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．  再由，得   ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．   

于是，根据，可得．

（2）由，对于任意的，均存在，使得，则

．

又，由数的整除性，得b是5的约数．

故，b=5．

所以b=5时，存在正自然数满足题意．

（3）设数列中，成等比数列，由，，得

．

化简，得．     （※）   当时，时，等式（※）成立，而，不成立．  

当时，时，等式（※）成立．

当时，，这与b≥3矛盾．

这时等式（※）不成立．

综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．